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初中數學勾股定理翻折問題
2025年05月21日 11:59
在初中數學中，勾股定理在圖形翻折問題中的應用較為常見。圖形翻折后，直線兩旁的部分能夠相互重合，翻折后的兩個圖形對應線段的長度和對應角相等，對稱點的連線被對稱軸垂直平分，翻折中常有等邊和等角。
對于矩形背景下的翻折問題，首先要明確翻折前后圖形全等，對應邊相等，對應角相等。折痕通常是角平分線，在矩形背景下存在平行線時會出現等腰三角形。例如，將矩形 ABCD 進行翻折，使點 C 與點 A 重合，折痕為 EF，已知 AB = 4，AD = 8，求 BE 的長度。此時，折痕垂直平分對應點的連線，四邊形 AECF 為菱形。在計算長度時，參與翻折的圖形一般不參與勾股定理的運算，而是尋找“角落”三角形進行運算。若已知兩邊，可直接求解；若知道一邊及其他兩邊的關系，使用勾股定理的方程思想求解。在此例中，“角落”三角形是 ABE，已知 AB = 4，由菱形 AECF 可知 AE = EC，由矩形可知 BC = AD = 8，所以 AE + BE = 8。設 BE = x，則 AE = 8 - x，在直角三角形 ABE 中，使用勾股定理列出方程：x2 + 42 = (8 - x)2，解得 x = 3。
另外，在解決此類問題時，往往需要根據題意畫出翻折后的圖形，然后再根據等腰三角形或直角三角形的特點進行分類討論，排除不可能的情況，通過設未知數列方程求解。比如由翻折產生的等腰三角形的存在性問題（求角度問題）、由翻折產生的等腰直角三角形的存在性問題（求線段長度問題）。對于翻折背景下的幾何證明問題，一般要根據題意畫出圖形，然后找到直角三角形，利用勾股定理求解。
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