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高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)歸納法的例子

2025年05月20日 09:27

以下為您列舉高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)歸納法的一些例子: 1. 證明前 n 個(gè)自然數(shù)的和是 n(n + 1)/2。設(shè) P(n)為“前 n 個(gè)正自然數(shù)的和是 n(n + 1) / 2”。首先證明 P(0)成立,前 0 個(gè)自然數(shù)的和為 0(0 + 1)/2 = 0 。然后假設(shè)對(duì)于某 n,P(n)成立,即 1 + 2 +…+ n = n(n + 1) / 2 。接下來(lái)證明 P(n + 1)成立,前 n + 1 自然數(shù)的和為 1 +…+ n + (n + 1) = n(n + 1)/2 + n + 1 = [n(n + 1) + 2(n + 1)]/ 2 = (n + 1)(n + 2)/2 ,所以 P(n)對(duì)所有自然數(shù) n 都成立。 2. 用數(shù)學(xué)歸納證明:= -n(n + 1)(4n + 3)。當(dāng) n = 1 時(shí),左邊,右邊 = -1(1 + 1)(4 + 3) = -14 ,等式成立。假設(shè) n = k 時(shí)等式成立,即 = -k(k + 1)(4k + 3) 。那么 n = k + 1 時(shí),經(jīng)過一系列運(yùn)算可得等式也成立。由上述可知,當(dāng) n ∈ N′ 時(shí)等式成立,原命題成立。 3. 試證 Sn = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 能被 9 整除。當(dāng) n = 1 時(shí),S1 = 4×9 ,能 9 整除。假設(shè) n = k 時(shí),Sk 能被 9 整除,則 Sk + 1 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = Sk + (k + 3)3 - k3 = Sk + 9(k3 + 3k + 3) ,由歸納假設(shè)知 Sk + 1 能被 9 整除,即 n = k + 1 時(shí)命題也成立。 點(diǎn)擊前往免費(fèi)閱讀更多精彩小說(shuō)
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