數(shù)學(xué)神童
歷史上間或出現(xiàn)神童。神童常常出現(xiàn)在數(shù)學(xué)、音樂、棋藝等方面。卡爾·弗
雷德里希·高斯，一位數(shù)學(xué)神童，是各式各樣的天才里最出色的一個。就像獅子
號稱萬獸之王，高斯在數(shù)學(xué)家之林中稱王，他有一個美號——數(shù)學(xué)王子。高斯不
僅被公認(rèn)為是十九世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家，并且與阿基米德、牛頓并稱為歷史上三
個最偉大的數(shù)學(xué)家。現(xiàn)在阿基米德和牛頓的名字早已進(jìn)入了中學(xué)的教科書，他們
的工作或多或少成為大眾的常識，而高斯和他的數(shù)學(xué)仍遙不可及，甚至于在大學(xué)
的基礎(chǔ)課程中也不出現(xiàn)。但高斯的肖像畫卻赫然印在10馬克——流通最廣泛的德
國紙幣上，相應(yīng)地出現(xiàn)在美元和英鎊上的分別是喬治·華盛頓和伊麗莎白二世。
1777年4月30日，高斯出生在德國下薩克森洲的不倫瑞克（Braunscheig
），他的祖先里沒有一個人可以說明為什么會產(chǎn)生高斯這樣的天才。高斯的父
親是個普通的勞動者，做過石匠、纖夫、花農(nóng)，母親是他父親的第二個妻子，當(dāng)
過女仆，沒有受過什么教育，但她聰明善良，有幽默感，并且個性很強(qiáng)，她以97
歲高壽仙逝，高斯是她的獨(dú)養(yǎng)兒子。據(jù)說高斯3歲時就發(fā)現(xiàn)父親帳簿上的一處錯
誤。高斯9歲那年在公立小學(xué)讀書，一次他的老師為了讓學(xué)生們有事干，叫他們
把從1到100這些數(shù)加起來，高斯幾乎立刻就把寫好結(jié)果的石板面朝下放在自己的
桌子上，當(dāng)所有的石板最終被翻過時，這位老師驚訝地發(fā)現(xiàn)只有高斯得出了正確
的答案：5050，但是沒有演算過程。高斯已經(jīng)在腦子里對這個算術(shù)級數(shù)求了和，
他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……這么一來，就等于50個
101相加，從而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣稱，在他會說話之前就會計
算，還說他問了大人字母如何發(fā)音，就自己學(xué)著讀起書來。
高斯的早熟引起了不倫瑞克公爵的注意，這位公爵是個熱心腸的贊助人。高
斯14歲進(jìn)不倫瑞克學(xué)院，18歲入哥廷根大學(xué)。當(dāng)時的哥廷根仍默默無聞，由于高
斯的到來，才使得這所日后享譽(yù)世界的大學(xué)變得重要起來。起初，高斯在做個語
言學(xué)家抑或數(shù)學(xué)家之間猶豫不決，他決心獻(xiàn)身數(shù)學(xué)是1796年3月30日的事了。當(dāng)
他差一個月滿19歲時，他對正多邊形的歐幾里德作圖理論（只用圓規(guī)和沒有刻度
的直尺）做出了驚人的貢獻(xiàn)，尤其是，發(fā)現(xiàn)了作正十七邊形的方法，這是一個有
著二千多年歷史的數(shù)學(xué)懸案。高斯初出茅廬，就已經(jīng)爐火純青了，而且以后的五
十年間他一直維持這樣的水準(zhǔn)。高斯所處的時代，正是德國浪漫主義盛行的時代。
高斯受時尚的影響，在其私函和講述中，充滿了美麗的詞藻。高斯說過：“數(shù)學(xué)
是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的女王。”那個時代的人也都稱高斯為“數(shù)學(xué)王
子”。事實(shí)上，縱觀高斯整個一生的工作，似乎也帶有浪漫主義的色彩。
對自然數(shù)的迷戀
數(shù)論是最古老的數(shù)學(xué)分支之一，主要研究自然數(shù)的性質(zhì)和相互關(guān)系。從畢達(dá)
哥拉斯時代人們就沉湎于發(fā)現(xiàn)數(shù)的神秘關(guān)系之中，優(yōu)美、簡潔、智慧是這門科學(xué)
的特點(diǎn)。就像其他數(shù)學(xué)神童一樣，高斯首先迷戀上的也是自然數(shù)。高斯在1808年
談到：“任何一個花過一點(diǎn)功夫研習(xí)數(shù)論的人，必然會感受到一種特別的激情與
狂熱。”現(xiàn)代數(shù)學(xué)最后一個“百事通”——大衛(wèi)·希爾伯特的傳記作者在談到大
師放下代數(shù)不變量理論轉(zhuǎn)向數(shù)論研究時指出：“數(shù)學(xué)中沒有一個領(lǐng)域能夠象數(shù)論
那樣，以它的美——一種不可抗拒的力量，吸引著數(shù)學(xué)家中的精華。”畫家瓦西
里·康定斯基也認(rèn)為：“數(shù)是各類藝術(shù)最終的抽象表現(xiàn)。”我注意到一些不曾研
究過數(shù)論的偉大數(shù)學(xué)家，如帕斯卡爾、笛卡爾、牛頓和萊布尼茲，他們都把后半
生的精力奉獻(xiàn)給了哲學(xué)或宗教，唯獨(dú)費(fèi)爾馬、歐拉和高斯這三位對數(shù)論有著杰出
貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，卻終其一生都不需要任何哲學(xué)和宗教，因?yàn)樗麄冃闹幸呀?jīng)有了最
純粹、最本質(zhì)的藝術(shù)——數(shù)論。
這里我想引用印度數(shù)學(xué)天才拉曼紐揚(yáng)的故事來說明數(shù)論學(xué)者與自然數(shù)的“情
誼”，這位泰戈?duì)柕耐麃碜杂《茸钅隙说奶┟谞柤{德邦，是個貧窮的辦事員，
從沒有受過高等教育，但他具有快速并且深刻地看出復(fù)雜的數(shù)的關(guān)系的驚人才華。
著名的英國數(shù)學(xué)家G·H·哈代在1913年“發(fā)現(xiàn)”了他，并于次年把他邀請到英國，
入劍橋大學(xué)。哈代有一次去探望病中的拉曼紐揚(yáng)時對他講，自己剛才乘坐的出租
汽車車號1729似乎沒有什么意義，但愿它不是一個不祥的預(yù)兆。拉曼紐揚(yáng)卻回答：
“不，這是一個很有意思的數(shù)，1729是可以用兩種方式表示成兩個自然數(shù)立方和
的最小的數(shù)（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次
方）。哈代又問，那么對于四次方來說，這個最小數(shù)是多少呢？拉曼紐揚(yáng)想了想，
回答說：“這個數(shù)很大，答案是635318657。”（既等于59的四次方加上158的四
次方，又等于133的四次方加上134的四次方）
《算術(shù)研究》：數(shù)論的法典
1801年，年僅24歲的高斯出版了《算術(shù)研究》，從而開創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)
元。書中出現(xiàn)了有關(guān)正多邊形的作圖，方便的同余記號以及優(yōu)美的二次互反律的
首次證明等。這部偉大的著作曾經(jīng)寄到法國科學(xué)院而被拒絕，但高斯自己把它發(fā)
表了。和高斯的前期作品一樣，它是用拉丁文寫的，這是當(dāng)時科學(xué)界的世界語，
然而由于受十九世紀(jì)初國家主義的影響，高斯后來改用德文寫作。如果他和其他
研究者堅(jiān)持使用拉丁文，也許今日我們就可以免除語言上的困擾了。在那個世紀(jì)
的末端，集合論的創(chuàng)始人康托這樣評價：
《算術(shù)研究》是數(shù)論的憲章。高斯總是遲遲不肯發(fā)表他的著作，這給科學(xué)帶
來的好處是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版時一樣正確和重要，他的出
版物就是法典。比人類其它法典更高明，因?yàn)椴徽摵螘r何地從未發(fā)覺出其中有任
何一處毛病，這就可以理解高斯暮年談到他青年時代第一部巨著時說的話：
“《算術(shù)研究》是歷史的財富。”他當(dāng)時的得意心情是頗有道理的。
關(guān)于《算術(shù)研究》，還流傳著這樣一個故事，1849年7月16日，哥廷根大學(xué)
為高斯獲得博士學(xué)位五十周年舉行慶祝會。當(dāng)進(jìn)行到某一程序時，高斯準(zhǔn)備用
《算術(shù)研究》的一張?jiān)妩c(diǎn)煙，當(dāng)時在場的數(shù)學(xué)家狄里克雷（后來繼承了高斯的
職位），像見到瀆圣行為一樣吃了一驚，他立刻冒失地從高斯手中搶下這一頁紙，
并一生珍藏它；他的編輯者在他死后從他的論文中間找到了這張?jiān)濉?/p>
和藝術(shù)家一樣，高斯希望他留下的都是十全十美的藝術(shù)珍品，任何絲毫的改
變都將破壞其內(nèi)部的均衡。他常說：“當(dāng)一幢建筑物完成時，應(yīng)該把腳手架拆除
干凈。”高斯對于嚴(yán)密性的要求也非常苛刻，使得一個定理從直覺的形式到完整
的數(shù)學(xué)證明，中間有一段很長的過程。此外，高斯十分講究組織結(jié)構(gòu)，他希望在
每一個領(lǐng)域中，都能樹立起一致而普遍的理論，從而將不同的定理聯(lián)系起來。鑒
于上述原因，高斯很不樂意公開發(fā)表他的東西。他的著名的警句是：寧肯少些，
但要成熟。為此，高斯付出了高昂的代價，包括把非歐幾何學(xué)和最小二乘法的發(fā)
明權(quán)讓給了羅巴切夫斯基、鮑耶和勒讓德，就如同費(fèi)爾馬把解析幾何和微積分的
發(fā)明權(quán)讓給了笛卡爾和牛頓、萊布尼茲。
從做出有關(guān)正多邊形發(fā)現(xiàn)的那天起，高斯開始了著名的數(shù)學(xué)日記，他以密碼
式的文字記載下許多偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。高斯的這本日記直到1898年才被找到，它
包括146條很短的注記，其中有數(shù)值計算結(jié)果，也有簡單的數(shù)學(xué)定理。例如，關(guān)
于正多邊形作圖問題，高斯在日記中寫到：
圓的分割定律，如何以幾何方法將圓十七等分。
又如1796年7月10日的記載，
num＝△＋△＋△
意指“每個自然數(shù)都是三個三角形數(shù)之和”。就像莫扎特一樣，高斯年輕時
候風(fēng)起云涌的奇思妙想使他來不及做完一件事，另一件又出現(xiàn)了。
多才多藝
高斯不僅是數(shù)學(xué)家，還是那個時代最偉大的物理學(xué)家和天文學(xué)家之一。在
《算術(shù)研究》問世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文學(xué)家在西西里島
觀察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移動，這顆現(xiàn)在被稱作谷神星
（Ceres）的小行星在天空出現(xiàn)了41天，掃過八度角之后，就在太陽的光芒下
沒了蹤影。當(dāng)時天文學(xué)家無法確定這顆新星是彗星還是行星，這個問題很快成了
學(xué)術(shù)界關(guān)注的焦點(diǎn)，甚至成了哲學(xué)問題。黑格爾就曾寫文章嘲諷天文學(xué)家說，不
必那么熱衷去找尋第八顆行星，他認(rèn)為用他的邏輯方法可以證明太陽系的行星，
不多不少正好是七顆。高斯也對這顆星著了迷，他利用天文學(xué)家提供的觀測資料，
不慌不忙地算出了它的軌跡。不管黑格爾有多么不高興，幾個月以后，這顆最早
發(fā)現(xiàn)迄今仍是最大的小行星準(zhǔn)時出現(xiàn)在高斯指定的位置上。自那以后，小行星、
大行星（海王星和冥王星）接二連三地被發(fā)現(xiàn)了。
在物理學(xué)方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理學(xué)家韋伯發(fā)明了有線
電報，這使高斯的聲望超出了學(xué)術(shù)圈而進(jìn)入公眾社會。除此以外，高斯在力學(xué)、
測地學(xué)、水工學(xué)、電動學(xué)、磁學(xué)和光學(xué)等方面均有杰出的貢獻(xiàn)。即使是數(shù)學(xué)方面，
我們談到的也只是他年輕時候在數(shù)論領(lǐng)域里所做的一小部分工作，在他漫長的一
生中，他幾乎在數(shù)學(xué)的每個領(lǐng)域都有開創(chuàng)性的工作。例如，在他發(fā)表了《曲面論
上的一般研究》之后大約一個世紀(jì)，愛因斯坦評論說：“高斯對于近代物理學(xué)的
發(fā)展，尤其是對于相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所作的貢獻(xiàn)（指曲面論），其重要性是超越
一切，無與倫比的。”
高處不勝寒
在高斯的時代，幾乎找不到什么人能夠分享他的想法或向他提供新的觀念。
每當(dāng)他發(fā)現(xiàn)新的理論時，他沒有人可以討論。這種孤獨(dú)的感覺，經(jīng)年累月積存下
來，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。這種智慧上的孤獨(dú)，在歷史上只有
很少幾個偉人感受過。高斯從不參加公開爭論，他對辯論一向深惡痛絕，他認(rèn)為
那很容易演變成愚蠢的喊叫，這或許是他從小對粗暴專制的父親一種心理上的反
抗。高斯成名后很少離開過哥廷根，他曾多次拒絕柏林、圣彼德堡等地科學(xué)院的
邀請。高斯甚至厭惡教學(xué)，也不熱衷于培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)年輕人，自然就談不上創(chuàng)立什
么學(xué)派，這主要是由于高斯天賦之優(yōu)異，因而心靈上離群索居。可這不等于說高
斯沒有出類拔萃的學(xué)生，黎曼、狄里克雷都堪稱偉大的數(shù)學(xué)家，戴特金和艾森斯
坦也對數(shù)學(xué)作出了杰出貢獻(xiàn)。但是由于高斯的登峰造極，在這幾個人中，也只有
黎曼（在狄里克雷死后繼承了高斯的職位）被認(rèn)為和高斯比較親近。
和高斯同時代的偉大數(shù)學(xué)家雅可比和阿貝爾都抱怨高斯漠視了他們的成就。
雅可比是個很有思想的人，他有一句流傳至今的名言：“科學(xué)的唯一目的是為人
類的精神增光”。他是高斯的同胞，又是狄里克雷的丈人，但他一直沒能和高斯
攀上親密的友情。在1849年哥廷根那次慶祝會上，從柏林趕來的雅可比坐在高斯
身旁的榮譽(yù)席上，當(dāng)他想找話題談數(shù)學(xué)時，高斯不予理睬，這可能是時機(jī)不對，
當(dāng)時高斯幾杯甜酒下肚，有點(diǎn)不能自制；但即使換個場合，結(jié)果恐怕也是一樣。
在給他兄弟論及該宴會的一封信中，雅克比寫到，“你要知道，在這二十年里，
他（高斯）從未提及我和狄里克雷……”
阿貝爾的命運(yùn)很慘，他與后來的同胞易卜生、格里格和蒙克一樣，是在自己
領(lǐng)域里唯一取得世界性成就的挪威人。他是一個偉大的天才，卻過著貧窮的生活，
毫無同時代人的了解。阿貝爾20歲時，解決了數(shù)學(xué)史上的一個大問題，即證明了
用根式解一般五次方程的不可能性，他將短短六頁“不可解”的證明寄給歐洲一
些著名的數(shù)學(xué)家，高斯自然也收到了一份。阿貝爾在引言中滿懷信心，以為數(shù)學(xué)
家們會親切地接受這篇論文。不久，鄉(xiāng)村牧師的兒子阿貝爾開始了他一生唯一的
一次遠(yuǎn)足，當(dāng)時他想以這篇文章作敲門磚。阿貝爾此行最大的愿望就是拜訪高斯，
但高斯高不可攀，只是將論文瞄了幾行，便把它丟在一旁，仍然專心于自己的研
究工作。阿貝爾只得在從巴黎去往柏林的旅途中，以漸增的痛苦繞過哥廷根。
高斯雖然孤傲，但令人驚奇的是，他春風(fēng)得意地度過了中產(chǎn)階級的一生，而
沒有遭受到冷酷現(xiàn)實(shí)的打擊；這種打擊常無情地加諸于每個脫離現(xiàn)實(shí)環(huán)境生活的
人。或許高斯講求實(shí)效和追求完美的性格，有助于讓他抓住生活中的簡單現(xiàn)實(shí)。
高斯22歲獲博士學(xué)位，25歲當(dāng)選圣彼德堡科學(xué)院外籍院士，30歲任哥廷根大學(xué)數(shù)
學(xué)教授兼天文臺臺長。雖說高斯不喜歡浮華榮耀，但在他成名后的五十年間，這
些東西就像雨點(diǎn)似的落在他身上，幾乎整個歐洲都卷入了這場授獎的風(fēng)潮，他一
生共獲得75種形形色色的榮譽(yù)，包括1818年英王喬治三世賜封的“參議員”，
1845年又被賜封為“首席參議員”。高斯的兩次婚姻也都非常幸福，第一個妻子
死于難產(chǎn)后，不到十個月，高斯又娶了第二個妻子。心理學(xué)和生理學(xué)上有一個常
見的現(xiàn)象，婚姻生活過得幸福的人，常在喪偶之后很快再婚，一生赤貧的音樂家
約翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是這樣。
一個偉大的文化結(jié)晶
高斯始終沒有忘記不倫瑞克公爵的恩情，他一直對他的贊助人在1806年慘死
在拿破侖手下這件事耿耿于懷，因而拒不接受法國大革命的信條和由此引發(fā)的民
主思潮的影響，他的學(xué)生都稱他為保守派。從這點(diǎn)來看，高斯可以說是貴族專制
社會體系中最后一個——也是最偉大的一個——文化結(jié)晶。高斯很喜歡文學(xué)，他
把歌德的作品遍覽無遺，卻不怎么推崇。由于與生俱來的語言特長，使高斯閱讀
外文得心應(yīng)手。他精通英語、法語、俄語、丹麥語，對意大利語、西班牙語和瑞
典語也略知一二，他的私人日記是用拉丁文寫的。高斯50歲時，又開始學(xué)習(xí)俄語，
部分原因是為了閱讀年輕的詩人普希金的原作。不過，高斯的語言天賦在數(shù)學(xué)家
中并不算最突出的，使愛爾蘭人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域享有盛譽(yù)的神童哈密爾頓，他在13歲
的時候就能夠流利地講13種外語。高斯愛看蒙田、盧梭等人的作品，卻不怎么喜
歡莎士比亞的悲劇，但他選擇了《李爾王》中的兩行詩作為自己的座右銘，
大自然啊，我的女神，
我愿為你獻(xiàn)身，終身不渝。
高斯最欽佩的英語作家是司各特，幾乎閱讀了他所有的作品。有一次，高斯
在司各特爵士有關(guān)自然景觀的描述中找到了一個錯誤（滿月是從西北方向升起來
的），因而狂喜不已。他不僅在自己那本書上把它糾正過來，還跑到哥廷根書店
把其它未售出的書都改了。
和所有偉大的數(shù)學(xué)家一樣，抽象符號對高斯來說并非虛幻而不真實(shí)的。有一
次他談到：“靈魂的滿足是一種更高的境界，物質(zhì)的滿足是多余的。至于我把數(shù)
學(xué)應(yīng)用到幾塊泥巴組成的星球，或應(yīng)用到純粹數(shù)學(xué)的問題上，這一點(diǎn)并不重要。
但后者常常帶給我更大的滿足。”高斯的身體一直不錯，在他晚年受到病魔襲擊
之前，他一直沒有在宗教或精神上花時間。心臟病不斷摧毀他的意志，1848年，
高斯寫信給他最親密的朋友說：“我經(jīng)歷的生活，雖然像一條彩帶飛舞過整個世
界，但也有其痛苦的一面。這種感受到了年邁的時候更是不能自持，我樂于承認(rèn)，
如果換一個人來過我的生活的話，也許會快樂得多。另一方面，這更使我體會到
生命的空虛，每一個接近生命盡頭的人，都一定會有這種感覺……”他又說：
“有些問題，如果能解答的話，我認(rèn)為比解答數(shù)學(xué)問題更有超然的價值，比如有
關(guān)人類和神的關(guān)系，我們的歸宿，我們的將來等等。這些問題的解答，遠(yuǎn)超出我
們能力之所及，也非科學(xué)的范圍內(nèi)能夠做到。”1855年2月23日清晨，高斯在睡
夢中平靜地與世長辭，享年77歲。他曾經(jīng)要求在他的墓碑上刻一個正十七邊形，
但事與愿違，在不倫瑞克的高斯紀(jì)念塔上所刻的是一顆有十七個角的星，因?yàn)榈?/p>
刻工認(rèn)為正十七邊形刻出來后幾乎和圓一模一樣。
高斯曾被形容為：“能從九霄云外的高度按照某種觀點(diǎn)掌握星空和深奧數(shù)學(xué)
的天才。”他將自己的數(shù)種天賦——有創(chuàng)造力的直覺，卓越的計算能力，嚴(yán)密的
邏輯推理，十全十美的實(shí)驗(yàn)——和諧地組合在一起，這種能力的組合使得高斯出
類拔萃，在人類歷史上找不到幾個對手。習(xí)慣上只有阿基米德和牛頓與他相提并
論，他們都非常多才多藝。以理論家來說，愛因斯坦也屬同一水準(zhǔn)，但他有所限
制，因?yàn)樗皇菍?shí)驗(yàn)家。
2001年7月24日中華讀書報